Question

如圖，橢圓C：焦點(diǎn)在x軸上，左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A，上頂點(diǎn)為B，拋物線C₁、C₂分別以A、B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O．C₁與C₂相交于直線上一點(diǎn)P．
（Ⅰ）求橢圓C及拋物線C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若動直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，已知點(diǎn)，0），求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，A（a，0），，故拋物線C₁的方程可設(shè)為y²=4ax，C₂的方程為．由此能求出橢圓C：，拋物線C₁：y²=16x，拋物線C₂：．
（Ⅱ）由直線OP的斜率為，知直線l的斜率為，設(shè)直線l方程為，由消去y，整理得，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，A（a，0），故拋物線C₁的方程可設(shè)為y²=4ax，C₂的方程為
則，得a=4，
所以橢圓C：，拋物線C₁y²=16x：，拋物線C₂：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線OP的斜率為，所以直線l的斜率為，
設(shè)直線l方程為
由消去y，整理得
因?yàn)橹本�l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)，所以△=128b²-20（8b²-16）＞0，
解得
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102546757201543/SYS201311031025467572015020_DA/24.png">，，
所以=
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102546757201543/SYS201311031025467572015020_DA/28.png">，所以當(dāng)時，取得最小值，
其最小值等于
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．