Question

（2012•普陀區一模）給出問題：已知△ABC滿足a•cosA=b•cosB，試判斷△ABC的形狀，某學生的解答如下：
（i）a•

b2+c2-a2

2bc

=b•

a2+c2-b2

2ac

?a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²）?（a²-b²）•c²=（a²-b²）（a²+b²）?c²=a²+b²
故△ABC是直角三角形．
（ii）設△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理可得，原式等價于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形．
綜上可知，△ABC是等腰直角三角形．
請問：該學生的解答是否正確？若正確，請在下面橫線中寫出解題過程中主要用到的思想方法；若不正確，請在下面橫線中寫出你認為本題正確的結果

等腰或直角三角形

．

Answer 1

分析：（i）利用余弦定理將角化為邊，即可得到結論；（ii）由正弦定理，將邊化為角，可得結論．

解答：解：不正確，解答的兩種方法都可得出結論，但都不完整．
（i）a•

b2+c2-a2

2bc

=b•

a2+c2-b2

2ac

?a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²）?（a²-b²）•c²=（a²-b²）（a²+b²）?c²=a²+b²或a²-b²=0，故△ABC是等腰或直角三角形；
（ii）設△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理可得，原式等價于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=sin2B?A=B或A+B=

π

2

，故△ABC是等腰或直角三角形；
故答案為：等腰或直角三角形

點評：本題考查三角形形狀的判斷，解題的關鍵是利用余弦定理、正弦定理進行邊角互化．