Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，點E為棱PC的中點．AD=DC=AP=2AB=2．

（1）證明：BE⊥平面PDC；
（2）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵AD=DC=AP=2AB=2，∴AB=1，點E為棱PC的中點．

∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），

E（1，1，1）

∴ =（0，1，1）， =（2，0，0）， =（0，2，﹣2）

∵ =0， =0，

∴BE⊥DC；BE⊥PD，

∵DC∩PD=D，

∴BE⊥平面PDC

（2）解：∵ =（1，2，0）， =（﹣2，﹣2，2）， =（2，2，0），

由F點在棱PC上，設 =λ =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

故 = + =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

由BF⊥AC，得 =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，

解得λ= ，

即 =（﹣ ， ， ）， = + =（1，0，0）+（﹣ ， ， ）=（ ， ， ），

設平面FAD的法向量為 =（a，b，c），

由 ，得 ，∴

令c=1，則a=﹣3，則 =（﹣3，0，1），

取平面ADC的法向量 =（0，0，1），

則二面角F﹣AD﹣C的平面角α滿足：

cosα= = = = ，

故二面角F﹣AD﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出BE，DC的方向向量，根據 =0，可得BE⊥DC；（II）根據BF⊥AC，求出向量 的坐標，進而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．