Question

(本小題滿分13分)

設定義在R上的函數f(x)＝a₀x⁴＋a₁x³＋a₂x²＋a₃x＋a₄(a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R)當x＝－1時，f(x)取得極大值，且函數y＝f(x＋1)的圖象關于點(－1,0)對稱.

(Ⅰ)求函數f(x)的表達式；

(Ⅱ)試在函數y＝f(x)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[－，]上；

(Ⅲ)設x_n＝，y_m＝(m，n∈N^?)，求證：|f(x_n)－f(y_m)|<.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)將函數y＝f(x＋1)的圖象向右平移一個單位，得到函數y＝f(x)的圖象，

∴函數y＝f(x)的圖象關于點(0,0)對稱，即函數y＝f(x)是奇函數，

∴f(x)＝a₁x³＋a₃x.

∴f′(x)＝3a₁x²＋a₃.

由題意得：.

所以，f(x)＝x³－x.經檢驗滿足題意.                                 (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，f′(x)＝x²－1.

故設所求兩點為(x₁，f(x₁))，(x₂，f(x₂))，(x₁，x₂∈[－，])

得f′(x₁)·f′(x₂)＝(x－1)(x－1)＝－1.

∵x－1，x－1∈[－1,1]，

∴或

∴或

∴滿足條件的兩點的坐標為：(0,0)，或(0,0)，.            (8分)

(Ⅲ)∵x_n＝＝1－，(n∈N)

∴x_n∈

當x∈時，導函數f′(x)<0，即函數f(x)在上遞減，

得f(x_n)∈，

即f(x_n)∈.

易知y_m∈，用導數可求f(y_m)在(－，－1)上遞增；在(－1，－)上遞減，

∵f(－)＝·(－)³＋＝，

f(－)＝·(－)³＋＝，

∴f(－)<f(－)，

∴f(y_m)∈(f(－)，f(－1)]，

即f(y_m)∈.

∴|f(x_n)－f(y_m)|＝f(y_m)－f(x_n)<－(－)＝.  

【解析】略