Question

已知函數(shù)(x∈R)。
(1)求證：不論a為何值，f(x)在R上均為增函數(shù)；
(2)若f(x)為奇函數(shù)，求a的值；
(3)在(2)的條件下，求f(x)在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）證明：任取，且，則有
， ①
， ②
由②-①，得
 
，③
又y=2^x在R上為增函數(shù)，且，
∴③中，∴，
∴，
∴不論a為何值，f(x)在R上均為增函數(shù)。
（2）函數(shù)定義在R上，且是奇函數(shù)，
∴f(0)=0，即有，
∴a=1。
（3）在（2）的條件下有，
又由（1）知在R上為增函數(shù)，
所以，在[1，4]上為增函數(shù)，
∴，
。