Question

（本小題滿分14分）已知函數(x∈R)在區間[-1,1]上是增函數.

（Ⅰ）求實數a的值所組成的集合A；

（Ⅱ）設關于x的方程的兩實數根為x₁、x₂,試問:是否存在實數m,使得不等式對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由?

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）A=[-1，1]；

（Ⅱ）存在實數m滿足題意，m的取值范圍為{m| m≥2或m≤-2}

【解析】（Ⅰ）

 

因為函數f(x)在區間[-1,1]上是增函數,所以f^‘(x)≥0在區間x∈[-1,1]恒成立，即有x²-ax-2≤0在區間[-1,1]上恒成立。  

構造函數g(x)=x²-ax-2

∴滿足題意的充要條件是：

所以所求的集合A=[-1，1] ………(7分)

（Ⅱ）由題意得：得到：x²-ax-2=0………(8分)

因為△=a²+8>0 所以方程恒有兩個不等的根為x₁、x₂由根與系數的關系有：……(9分)

因為a∈A即a∈[-1，1]，所以 要使不等式 對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，當且僅當對任意的t∈[-1,1]恒成立……(11分)

構造函數φ（x）=m2+tm-2=mt+(m2-2) ≥0對任意的t∈[-1,1]恒成立的充要條件是

 m≥2或m≤-2.故存在實數m滿足題意且為{m| m≥2或m≤-2}為所求     （14分）