Question

定義域為的偶函數，對，有，且當 時，，若函數在上至少有三個零點，則的取值范圍是（   ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

試題分析：根據定義域為R的偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函數f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，利用數形結合的方法進行求解；解：因為 f（x+2）=f（x）+f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數
令x="-1" 所以 f（-1+2）=f（-1）+f（1），f（-1）=f（1）即 f（1）="0" 則有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期為2的偶函數，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線，∵函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，令g（x）=log_a（|x|+1），

如圖要求g（2）＞f（2），可得就必須有 log_a（2+1）＞f（2）=-2，∴可得log_a3＞-2，∴3＞ ，解得-＜a＜又a＞0，∴0＜a＜故選A；
點評：此題主要考查函數周期性及其應用，解題的過程中用到了數形結合的方法，這也是高考常考的熱點問題，此題是一道中檔題；