Question

.如圖：長為3的線段PQ與邊長為2的正方形ABCD垂直相交于其中心O（PO>OQ）.（1）若二面角P-AB-Q的正切值為－3，試確定O在線段PQ的位置；（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q為頂點的幾何體PABCDQ是否存在內切球？若存在，試確定其內切球心的具體位置；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：（1）取線段AB的中點為點E,則

設，,，

故，

由,

得：

 ∵PO>OQ   ∴

故在線段PQ上的靠近Q點的三分點位置;

（2）幾何體PABCDQ存在內切球,令球心為，

設線段CD的中點為點F,內切球的半徑為，由對稱性可知：平面四邊形PEQF的內切圓的半徑即為,故

所以,得

由三角形相似有：

所以故其內切球心在點P距離為的位置上.

（注：也可用分割體積法求）