Question

如圖：長為3的線段PQ與邊長為2的正方形ABCD垂直相交于其中心O（PO＞OQ）．
（1）若二面角P-AB-Q的正切值為-3，試確定O在線段PQ的位置；
（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q為頂點的幾何體PABCDQ是否存在內切球？若存在，試確定其內切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）取線段AB的中點為點E，
連接PE，OE，QE．由于四邊形ABCD是正方形，O為其中心，所以OE⊥AB，
又PO⊥面ABCD AB?面ABCD，所以PO⊥AB，
而 OE∩AB=O，所以AB⊥面PEO，PE?面PEO，所以AB⊥PE，
同理可以證出AB⊥QE，∴∠PEQ為二面角P-AB-Q的平面角，tan∠PEQ=-3．
設∠PEQ=α，∠QEO=β，OP=x，則OQ=3-x．且OE=1
在RT△PEO中，tanα==x，
同理在RT△QEO中，tanβ==3-x
由tan∠PEQ=tan（α+β）===-3，
得：x²-3x+2=0
∵PO＞OQ∴OP=x=2
故O在線段PQ上的靠近Q點的三分點位置；
（2）幾何體PABCDQ存在內切球，令球心為O^′，
若設線段CD的中點為點F，內切球的半徑為r，由對稱性可知：平面四邊形PEQF的內切圓的圓心為O′，半徑即為r，
故S_PEQF=EF•PQ=r（2PE+2QE），而PE==，QE==．
所以×2×3=r（2+2），得r=-．
由三角形相似有：=sin∠EPO=
所以PO′=r=5-．故其內切球心O′在點P距離為5- 的位置上．
（注：也可用分割體積法求r）
分析：（1）取線段AB的中點為點E，連接PE，OE，可以證明，∠PEQ為二面角P-AB-Q的平面角，且tan∠PEQ=-3．將∠PEQ 看作∠PEQ與∠QEO之和．設OP=x，利用兩角和的正切公式，建立關于x的方程并解出即可．
（2）若設線段CD的中點為點F，由對稱性可知：平面四邊形PEQF的內切圓的圓心為O′，半徑即為r，利用分割面積法可以求出r的值，O′在PQ上．在四邊形PEQF中利用平面幾何知識確定出內切球心的具體位置．
點評：本題考查了二面角的定義，度量，方程思想．還考查了組合體的幾何性質，面積（體積）分割的思想．本題中的幾何體實際上是由兩個同底不等高的正四棱錐組合而成．