Question

【題目】如圖，正方形所在平面與三角形所在平面互相垂直，且， .

（1）求證： 平面；

（2）若， ，求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）在上取一點(diǎn)，使,根據(jù)平幾知識(shí)可得為平行四邊形，即得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求直線與平面所成的角的正弦值.

試題解析：（1）在上取一點(diǎn)，使,連接.

由已知,在中， ，

所以且.

又在正方形中， ，

所以且.

所以且.

所以，四邊形為平行四邊形.

所以.

又平面， 平面 平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸、軸，以過(guò)垂直于的直線為軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則, , ， ,,,

所以,,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，

不妨令，得，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

.

所以直線與平面所成的角正弦值為.