Question

(08年四川卷理)設橢圓的左、右焦點分別是、，離心率，右準線上的兩動點、，且．

（Ⅰ）若，求、的值；

（Ⅱ）當最小時，求證與共線．

Answer 1

解析：數列和解幾位列倒數第三和第二，意料之中．開始擠牙膏吧．

（Ⅰ）由已知，，．由，，∴．

又，∴，．

∴：，，．

延長交于，記右準線交軸于．

∵，∴．

由平幾知識易證≌

∴，

即，．

∵，

∴，，，．

∴，．

（Ⅰ）另解：∵，∴，．

又

聯立，消去、得：，

整理得：，．解得．但解此方程組要考倒不少人．

（Ⅱ）∵，∴．

．

當且僅當或時，取等號．此時取最小值．

此時．

∴與共線．

（Ⅱ）另解：∵，∴，．

　　　設，的斜率分別為，．

由，由

．當且僅當即，時取等號．

即當最小時，，

此時．

∴與共線．

點評：本題第一問又用到了平面幾何．看來，與平面幾何有聯系的難題真是四川風格啊．注意平面幾何可與三角向量解幾沾邊，應加強對含平面幾何背景的試題的研究．本題好得好，出得活，出得妙！均值定理，放縮技巧，永恒的考點．