Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)，且，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，對于，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求導，對進行分類討論，研究單調(diào)性，求極值.

（Ⅱ）先求得，分離變量，即，構(gòu)造新函數(shù)，求其最大值，即可求出的取值范圍.

（Ⅲ）令，即,求導研究單調(diào)性，求最小值大于0即可證得原不等式成立.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，.

當時，，∴在上為增函數(shù)，沒有極值；

當時，令

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

∴有極大值，無極小值.

（Ⅱ），∴

∵，∴

∴

∵，使得不等式成立

即

令，

當時，，

∴，即.

∴在單調(diào)遞減，∴

∴.

（Ⅲ）當時，，令，

即

∴，則在上為增函數(shù)

∵，

∴.∵在上為增函數(shù)

∴時，，時，.

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

∴

∵∴

∵∴單調(diào)遞減，

∴

∴即.