Question

【題目】已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.

（1）求向量與的夾角；

（2）設，且向量滿足，求的最小值；

（3）在（2）的條件下，隨機選取一個向量，求的概率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據向量的垂直，轉化出方程組，求解方程組即可；

（2）將向量賦予坐標，求得向量對應點的軌跡方程，將問題轉化為圓外一點，到圓上一點的距離的最值問題，即可求解；

（3）根據余弦定理，解得，以及的臨界狀態時，對應的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計算公式，即可求解.

（1）因為

故可得，

解得 ①

②

由①-②可得

，解得，

將其代入①可得，即

將其代入②可得

解得，又向量夾角的范圍為，

故向量與的夾角為.

（2）不妨設，

由

可得.

不妨設的起始點為坐標原點，終點為C.

因此，點C落在以)為圓心，1為半徑的圓上（如圖）.

因為，即

由圓的特點可知的最小值為，

即：.

（3）當時，因為，，滿足勾股定理，

故容易得.

當時，假設此時點落在如圖所示的F點處.如圖所示.

因為，由余弦定理容易得

，故.

所以，本題化為，在半圓上任取一點C，點C落在弧CF上的概率.

由幾何概型的概率計算可知：

的概率即為圓心角的弧度除以，

即.