Question

設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＜0，M是拋物線的準線上的一點，O是坐標原點．若直線MA，MF，MB的斜率分別記為：K_MA=a，K_MF=b，K_MB=c，（如圖）
（I）若y₁y₂=-4，求拋物線的方程；
（II）當b=2時，求a+c的值；
（III）如果取時，判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關系．并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設直線AB的方程為，由得，由此能求出拋物線的方程．
（II）則，所以y=-2p，由此能夠推導出．
（III）設直線AM、FM、BM的傾斜角分別為θ₁，θ₂，θ₃，則∠AMF=θ₁-θ₂，∠BMF=θ₃+θ₂，∠MFO=θ₂，，由此能夠導出|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO．
解答：解：（I）設直線AB的方程為
由消去x得
所以y₁y₂=-p²=-4
因為p＞0，所以p=2
所以此拋物線的方程為y²=4x
（II）則，所以y=-2p
所以=
由（*）得y₁y₂=-p²，
所以
（III）設直線AM、FM、BM的傾斜角分別為θ₁，θ₂，θ₃，
則∠AMF=θ₁-θ₂，∠BMF=θ₃+θ₂，∠MFO=θ₂所以θ₁+θ₃=
所以|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．