Question

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0），弦AB過焦點，△ABQ為其阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（　　）

• A、

  p2

  2

• B、p²
• C、2p²
• D、4p²

Answer 1

分析：法一：直接計算比較復(fù)雜，我們可以取幾個特殊的位置，可得解．
法二：由于若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上，且△PAB為直角三角型，且角P為直角．又面積是直角邊積的一半，斜邊是兩直角邊的平方和，故可求．

解答：解：法一：取傾斜角為：45⁰，60⁰，90⁰，經(jīng)計算可知，當(dāng)傾斜角為90⁰時，△ABQ的面積的最小，此時AB=2p，又焦點到準(zhǔn)線的距離d=

p

2

-(-

p

2

)=p，此時三角形的面積最小為p²故選B．
法二：由于若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上，且△PAB為直角三角型，且角P為直角．S=

1

2

PA•PB≤

AB2

4

，由于AB是通徑時，AB最小，故選B．

點評：本題作為選擇題，采用特殊法，簡單易行．由特殊求解一般性結(jié)論是解答選擇題的一種很好的方法．△PAB稱作阿基米德三角型．該三角形滿足以下特性：1、P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；2、△PAB為直角三角型，且角P為直角；3、PF⊥AB（即符合射影定理）等．靈活利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．