【題目】已知函數y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數，又是減函數．
(1)求證：對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實數a的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）0≤a＜1.
【解析】試題分析：（1）由x2∈[﹣1，1]，可得﹣x2∈[﹣1，1]，利用函數y=f（x）在定義域[﹣1，1]上是奇函數，又是減函數，即可證明結論；（2）f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，等價于a2+a﹣2＜0，即可求出實數a的取值范圍．
解析：
(1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立．
若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1，
因為f(x)在[－1，1]上是減函數且為奇函數，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1，
同理可證f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
綜上得證，對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因為f(1－a)＋f(1－a2)＜0f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，
所以由f(x)在定義域[－1，1]上是減函數，得
解得0≤a＜1.
名校通行證有效作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求證：平面PAC⊥平面ABC.
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律，可以為有效控制人口增長提供依據.早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然狀態下的人口增長模型： 
，其中x表示經過的時間， 
表示x=0時的人口，r表示人口的平均增長率.
下表是1950―1959年我國人口數據資料：
如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國這一時期的具體人口增長模型，某同學利用圖形計算器進行了如下探究：
由此可得到我國1950―1959年我國這一時期的具體人口增長模型為____________. （精確到0.001）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的圖象過點(4,2),
(1)求a的值.
(2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x),求g(x)的解析式及定義域.
(3)在(2)的條件下,求g(x)的單調減區間.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓M：（x﹣1）2+y2= 
，橢圓C： 
+y2=1，若直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓M相切于點P，且P為AB的中點，則這樣的直線l有（ ）
A.2條
B.3條
C.4條
D.6條
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