Question

如圖，橢圓C：的一個焦點為F(1，0)，且過點(2，0)．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若垂直于x軸的動直線與橢圓交于A，B兩點，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
(ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；
(ⅱ)求△AMN面積的最大值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題設，a=2，c=1，從而，
所以，橢圓C的方程為。
 (Ⅱ)(ⅰ)由題意，得，
設，則，①
AF與BN的方程分別為
，②
設，則有
由③④，得，
由于，
所以，點M恒在橢圓C上。
(ⅱ)設AM的方程為x=ty+1，代入得，
設，則有，
，
令，則
，
因為，所以當，
即λ=4，t=0時，有最大值3，
此時，△AMN的面積。