Question

（2011•重慶三模）光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與雙曲線C′：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為（　�。�

A．k（a+m）

B．2k（a+m）

C．k（a-m）

D．2k（a-m）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可知光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個(gè)焦點(diǎn)，從而可計(jì)算光線經(jīng)過2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．

解答：解：因?yàn)楣饩�被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出
所以，光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個(gè)焦點(diǎn)
如圖，AF₂=2m+AF₁，
BF₁+BA+AF₁=2a-AF₂+AF₁=2a-（2m+AF₁）+AF₁=2a-2m
所以光線經(jīng)過2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為2k（a-m）
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為素材，考查橢圓、雙曲線的定義，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解，理解新定義是關(guān)鍵．