Question

（2012•安徽）設函數f（x）=

x

2

+sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數列為{x_n}．
（Ⅰ）求數列{x_n}．
（Ⅱ）設{x_n}的前n項和為S_n，求sinS_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，令f′（x）＞0，確定函數的單調增區間；令f′（x）＜0，確定函數的單調減區間，從而可得f（x）的極小值點，由此可得數列{x_n}；
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-

2nπ

3

=n（n+1）π-

2nπ

3

，再分類討論，求sinS_n．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得f′(x)=

1

2

+cosx，令f′（x）=0，可得x=2kπ±

2

3

π(k∈Z)
令f′（x）＞0，可得2kπ-

2

3

π＜x＜2kπ+

2

3

π(k∈Z)；
令f′（x）＜0，可得2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π(k∈Z)
∴x=2kπ-

2

3

π(k∈Z)時，f（x）取得極小值
∴x_n=x=2nπ-

2

3

π(n∈N+)
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-

2nπ

3

=n（n+1）π-

2nπ

3

∴當n=3k（k∈N^*）時，sinS_n=sin（-2kπ）=0；
當n=3k-1（k∈N^*）時，sinS_n=sin

2π

3

=

3

2

；
當n=3k-2（k∈N^*）時，sinS_n=sin

4π

3

=-

3

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數與數列之間的綜合，屬于中檔題．