Question

【題目】若定義在D上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M>0，都有-M<f（x）<M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界。

（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=1++，x∈[0，+∞）是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) [-5，1].

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出的范圍即可；（Ⅱ）根據(jù)有界函數(shù)的定義可得對(duì)任意，都有，利用分離參數(shù)可得在上恒成立求出左端的最大值右端的最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）f（x）=。

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，1≤f（x）≤2，則-2≤f（x）≤2。

由有界函數(shù)定義可知f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是有界函數(shù)。

（Ⅱ）由題意知對(duì)任意x≥0，都有。

所以有，

即在[1，+∞）上恒成立。

設(shè)t=，由x≥0，得t≥1。

設(shè)h（t）=，p（t）=。

由題可得。

而h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增。（單調(diào)性證明略）

h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1。

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1]。