Question

如圖，與是均以為斜邊的等腰直角三角形，，分別為，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且平面.

（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011143044459.png" style="vertical-align:middle;" />正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù)，平面的法向量為，，所以，所以平面（2）

試題分析：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011143044459.png" style="vertical-align:middle;" />正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù),則
設(shè)平面的法向量為
則，令，則
所以，所以，所以平面．
⑵平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，又，則，令，則
設(shè)二面角的平面角為，則
又由圖易知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題中利用兩兩垂直，空間坐標(biāo)系較容易建立，因此只需根據(jù)線段長(zhǎng)度找到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)判定位置關(guān)系或求角