Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），對任意的x∈R，都有f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，
（1）求2a﹣b的值；
（2）函數f（x）取得最小值0，且對任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（ ）2恒成立，求函數f（x）的解析式；
（3）若方程f（x）=x沒有實數根，判斷方程f（f（x））=x根的情況，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，可得函數y=f（x）圖象的對稱軸方程為x= =﹣1，

∴﹣ =﹣1，∴2a﹣b=0

（2）解：當x=﹣1 時，f（x）=a﹣b+c=0，

對于不等式x≤f（x）≤（ ）2 ，當x=1時，有1≤f（1）≤1，∴f（1）=a+b+c=1．

由以上方程解得 a= =c，b= ，∴函數的解析式為

（3）解：因為方程f（x）=x無實根，所以當a＞0時，不等式f（x）＞x恒成立，

∴f（f（x））＞f（x）＞x，故方程f（f（x））=x無實數解．

當a＜0時，不等式f（x）＜x恒成立，∴f（f（x））＜f（x）＜x，

故方程f（f（x））=x無實數解，

綜上得：方程f（f（x））=x無實數解

【解析】（1）由f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，可得函數y=f（x）圖象的對稱軸方程為 x=﹣ =﹣1，由此求得 2a﹣b的值． （2）當x=﹣1 時，f（x）=a﹣b+c=0，對于不等式x≤f（x）≤（ ）2 ， 當x=1時，由1≤f（1）≤1，可得f（1）=a+b+c=1．求得a、b、c的值，可得函數的解析式．（3）由題意可得，當a＞0時，不等式f（x）＞x恒成立，f（f（x））＞f（x）＞x，方程f（f（x））=x無實數解．當a＜0時，由不等式f（x）＜x恒成立，可得f（f（x））＜f（x）＜x，方程f（f（x））=x無實數解，綜合可得結論．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．