Question

（1）已知f(x)=

2

3x-1

+m是奇函數，求常數m的值；
（2）畫出函數y=|3^x-1|的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3X-1|=k無解？有一解？有兩解？

Answer 1

分析：（1）先求出函數的定義域，再利用奇函數的定義，代入一對相反變量即可直接求常數m的值；
（2）先取絕對值畫出對應圖象，再利用函數的零點即為對應兩個函數圖象的交點把y=k在圖象上進行來回平移看交點個數即可找到結論．

解答：解：（1）因為3^x-1≠0?x≠0．故函數定義域為{x|x≠0}．
因為函數為奇函數，故有f（-1）=-f（1）?

2

3-1-1

+m=-(

2

31-1

+m)?m=1．
所以所求常數m的值為1；
（2）因為函數的零點即為對應兩個函數圖象的交點．所以把研究零點個數問題轉化為研究圖象交點個數．
當k＜0時，直線y=k與函數y=|3^x-1|的圖象無交點，即方程無解；
當k=0或k≥1時，直線y=k與函數y=|3^x-1|的圖象有唯一的交點，所以方程有一解；
當0＜k＜1時，直線y=k與函數y=|3^x-1|的圖象有兩個不同交點，所以方程有兩解．

點評：本題第一問主要考查函數的奇偶性，第二問主要研究函數的圖象，都是考查基礎知識，綜合在一起屬于中檔題目．