Question

（1）已知f(x)的定義域為(-

1

2

，

3

2

)，則f(cosx)的定義域為

 

．
（2）設f（2sinx-1）=cos²x，則f（x）的定義域為

 

．

Answer 1

分析：（1）由f(x)的定義域為(-

1

2

，

3

2

)，則f(cosx)的表達式要想有意義必須滿足cosx∈(-

1

2

，

3

2

)，解三角不等式即可得到復合函數的定義域．
（2）由f（2sinx-1）=cos²x我們不難求出自變量位置上2sinx-1的取值范圍，不難給出f（x）的定義域．

解答：解：（1）∵f(x)的定義域為(-

1

2

，

3

2

)，
∴要使f（cosx）的解析式有意義，須滿足
-

1

2

＜cosx＜

3

2

即2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ-

π

6

，或2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

2π

3

，（k∈Z）
故f（cosx）的定義域為：（2kπ-

2π

3

，2kπ-

π

6

）∪（2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

2π

3

），（k∈Z）
（2）∵-3≤2sinx-1≤1
故f（x）的定義域為[-3，1]
故答案為：（2kπ-

2π

3

，2kπ-

π

6

）∪（2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

2π

3

），（k∈Z），[-3，1]

點評：求復合函數的定義域的關鍵是“以不變應萬變”，即不管函數括號里的式子形式怎么變化，括號里式子的取值范圍始終不發生變化．即：若f[g（x）]中若內函數的值域為A，則求f[u（x）]的定義域等價于解不等式u（x）∈A．