Question

【題目】設向量a＝(sinx－1,1)，b＝(sinx＋3,1)，c＝(－1，－2)，d＝(k,1)，k∈R.

(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；

(2)若存在x∈R，使得(a＋d)⊥(b＋c)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x＝－. (2) k的取值范圍是[ ，4].

【解析】

試題分析:（1）運用向量的共線的坐標表示及三角函數的圖象和性質，即可解得 ；
（2）運用向量的垂直的條件，以及參數分離和正弦函數的值域，即可求得 的范圍．

試題解析：(1)由于b＝(sinx＋3,1)，c＝(－1，－2)，則b＋c＝(sinx＋2，－1)

a＝(sinx－1,1)，且a∥(b＋c)，則有sinx＋2＝1－sinx，即sinx＝－，

由于x∈[－，]，則x＝－.

(2)若存在x∈R，使得(a＋d)⊥(b＋c)，則有(sinx－1＋k,2)(sinx＋2，－1)＝0，

即有k＝＋1－sinx，令2＋sinx＝t(1≤t≤3)

則k＝－t＋3，k′＝－－1＜0，則k在[1,3]上遞減，

則有≤k≤4，故k的取值范圍是[，4].