Question

設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
（Ⅰ）已知函數f（x）=x-2sinx．求證：y=x+2為曲線f（x）的“上夾線”．
（Ⅱ）觀察下圖：

根據上圖，試推測曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，從而找出直線l與曲線S的兩個切點，從而說明直線l與曲線S相切且至少有兩個切點，然后根據對任意x∈R，g（x）-F（x）≥0，滿足“上夾線”的定義，從而得到結論；
（Ⅱ）推測：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程為y=mx+n，然后①先檢驗直線y=mx+n與曲線y=mx-nsinx相切，且至少有兩個切點，②檢驗g（x）≥F（x）是否成立，從而得到結論．

解答：解（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，（1分）
當x=-

π

2

時，cosx=0，
此時y1=x+2=-

π

2

+2，y2=x-2sinx=-

π

2

+2，（2分）
y₁=y₂，所以（-

π

2

，-

π

2

+2）是直線l與曲線S的一個切點；（3分）
當x=

3π

2

時，cosx=0，
此時y1=x+2=

3π

2

+2，y2=x-2sinx=

3π

2

+2，（4分）
y₁=y₂，所以（

3π

2

，

3π

2

+2）是直線l與曲線S的一個切點；（5分）
所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
對任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0，
所以g（x）≥F（x）（6分）
因此直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．（7分）
（Ⅱ）推測：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程為y=mx+n（9分）
①先檢驗直線y=mx+n與曲線y=mx-nsinx相切，且至少有兩個切點：設：F（x）=mx-nsinx
∵F'（x）=m-ncosx，令F'（x）=m-ncosx=m，得：x=2kπ±

π

2

（k∈Z）（10分）
當x=2kπ-

π

2

時，F（2kπ-

π

2

）=m（2kπ-

π

2

）+n
故：過曲線F（x）=mx-nsinx上的點2kπ-

π

2

，m（2kπ-

π

2

）+n）的切線方程為：
y-[m（2kπ-

π

2

）+n]=m[x-（2kπ-

π

2

）]，化簡得：y=mx+n．
即直線y=mx+n與曲線y=F（x）=mx-nsinx相切且有無數個切點．（12分）
不妨設g（x）=mx+n
②下面檢驗g（x）≥F（x）
∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0）
∴直線y=mx+n是曲線y=F（x）=mx-nsinx的“上夾線”．（14分）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究切線等有關知識，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．