Question

已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050856790359.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
（1） 對(duì)任意的，總有；（2）；（3） 若，，且，則有成立，則稱為“友誼函數(shù)”，請(qǐng)解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
（2）函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且， 求證：.

Answer 1

（1）（2）是友誼函數(shù)（3）見解析.

試題分析：（1）利用賦值法由得，再由得，所以（2）分別驗(yàn)證（1）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在區(qū)間上的最小值為0，（2）直接帶入驗(yàn)證易得（3）利用做差法直接比較  （3） 先利用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，然后再證明
取得， 又由，
得 
（2）顯然在上滿足（1） ；（2）.（3）若，，且，則有
故滿足條件（1）、（2）、（3），所以為友誼函數(shù).
（3）由 （3）知任給其中，且有，不妨設(shè)

所以：.
下面證明：(i)若，則有或
若，則，這與矛盾；
（2）若，則，這與矛盾；   
綜上所述：