Question

（2013•東城區一模）已知向量

OA

，

AB

，O是坐標原點，若|

AB

|=k|

OA

|，且

AB

方向是沿

OA

的方向繞著A點按逆時針方向旋轉θ角得到的，則稱

OA

經過一次（θ，k）變換得到

AB

．現有向量

OA

=（1，1）經過一次（θ₁，k₁）變換后得到

AA1

，

AA1

經過一次（θ₂，k₂）變換后得到

A1A2

，…，如此下去，

An-2An-1

經過一次（θ_n，k_n）變換后得到

An-1An

．設

An-1An

=（x，y），θn=

1

2n-1

，kn=

1

cosθn

，則y-x等于（　　）

• A．

  2sin[2-( 1 2 )n-1]

  sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

• B．

  2sin[2-( 1 2 )n-1]

  cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

• C．

  2cos[2-( 1 2 )n-1]

  sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

• D．

  2cos[2-( 1 2 )n-1]

  cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

Answer 1

分析：根據題意，可得（θ₁，k₁）=（1，

1

cos1

），即當n=1時，一次（θ₁，k₁）變換將

OA

逆時針旋轉1弧度，再將所得向量的長度再伸長為原來的

1

cosθ1

倍得到向量

AA1

．因此當

OA

=（1，1）時，運用矩陣變換公式，算出

OA

逆時針旋轉1弧度所得向量

a

=（cos1-sin1，sin1+cos1），從而得到

AA1

=（x，y）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1），所以y-x=

2sin1

cos1

．接下來再對A、B、C、D各項在n=1時的情況進行計算，對照所得結果可得只有B項是正確的選項．

解答：解：根據題意，θ1=

1

21-1

=1，k1=

1

cosθ1

=

1

cos1

∴一次（θ₁，k₁）變換就是將向量

OA

逆時針旋轉1弧度，
再將長度伸長為原來的

1

cos1

倍，
即

AA1

由

OA

逆時針旋轉1弧度而得，且|

AA1

|=

1

cos1

|

OA

|
設向量

OA

逆時針旋轉1弧度，所得的向量為

a

=（x'，y'）
則有

cos1 -sin1 sin1 cos1

•

1   1

=

x′   y′

，
∴

x′=cos1-sin1 y′=sin1+cos1

，即向量

OA

逆時針旋轉1弧度，
得到向量

a

=（cos1-sin1，sin1+cos1），再將

a

的模長度伸長為原來的

1

cos1

倍，
得到

AA1

=

1

cos1

（cos1-sin1，sin1+cos1）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1）
因此當n=1時，

AA1

=（x，y）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1）
即

x=1- sin1 cos1 y= sin1 cos1 +1

，由此可得y-x=

sin1

cos1

+1-（1-

sin1

cos1

）=

2sin1

cos1

對于A，當n=1時

2sin[2-( 1 2 )n-1]

sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

=

2sin[2-( 1 2 )0]

sin1

=

2sin1

sin1

=2，與計算結果不相等，故A不正確；
對于B，當n=1時

2sin[2-( 1 2 )n-1]

cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

cos1

=

2sin1

cos1

，與計算結果相等，故B正確；
對于C，當n=1時

2cos[2-( 1 2 )n-1]

sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

sin1

=

2cos1

sin1

，與計算結果不相等，故C不正確；
對于D，當n=1時

2cos[2-( 1 2 )n-1]

cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

cos1

=

2cos1

cos1

=2，與計算結果不相等，故D不正確
綜上所述，可得只有B項符合題意
故選：B

點評：本題給出向量的旋轉和伸縮，求向量

OA

=（1，1）經過n變換（θ_n，k_n）后得到的向量坐標，著重考查了向量的線性運算、用矩陣解決向量旋轉問題和數列的通項公式等知識，屬于中檔題．