Question

某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1，2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執行標準
（Ⅰ）已知甲廠產品的等級系數X₁的概率分布列如下所示：

X1	5	6	7	8
P	0.4	a	b	0.1

且X₁的數字期望EX₁=6，求a，b的值；
（Ⅱ）為分析乙廠產品的等級系數X₂，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X₂的數學期望．
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產品的“性價比”=

產品的等級系數的數學期望

產品的零售價

；
（2）“性價比”大的產品更具可購買性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，結合期望的計算與頻率分布列的性質，可得

6a+7b=3.2 a+b=0.5

，解即可得答案；
（Ⅱ）依據題意中，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，先由數據得到樣本的頻率分布列，進而可得其概率分布列，由期望公式，計算可得答案；
（Ⅲ）由題意與（Ⅱ）的結論，可得兩廠產品的期望，結合題意，計算可得他們產品的“性價比”，比較其大小，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，因為X₁的數字期望EX₁=6，則5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化簡可得6a+7b=3.2；
又由X₁的頻率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；
即

6a+7b=3.2 a+b=0.5

，解可得a=0.3，b=0.2；
（Ⅱ）由已知得，樣本的頻率分布列為

X2	3	4	5	6	7	8
f	0.3	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1

用這個樣本的頻率分布估計總體的分布，將其頻率視為概率，可得X₂的概率分布列如下：

X2	3	4	5	6	7	8
p	0.3	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1

所以EX₂=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．
即乙產品的等級系數的數學期望等于4.8；
（Ⅲ）乙廠的產品更具有可購買性，
理由如下：甲廠產品的等級系數的數學期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為

6

6

=1，
乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為

4.8

4

=1.2；
據此乙廠的產品更具有可購買性．

點評：本題考查概率的實際運用，是應用性的題目，整體難度不大；解題時需要認真分析、理解題意，并根據題意，選擇合適的數學統計量來計算應用．