Question

某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數ξ依次為1，2，…，8，產品的等級系數越大表明產品的質量越好，現從某廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如圖：
（I）該行業規定產品的等級系數ξ≥7的為一等品，等級系數5≤ξ＜7的為二等品，等級系數3≤ξ＜5的為三等品，試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）已知該廠生產一件該產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ξ的關系式為：y=

3，，3≤ξ＜5 5，5≤ξ＜7 8，ξ≥7

，從該廠生產的商品中任取一件，其利潤記為X，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據題意，由樣本數據可得30件產品中一等品、二等品、三等品的數目，計算可得三個等級各自的其頻率，由頻率的意義可得答案；
（II）X的可能取值為3，5，8，求出相應的概率，即可求得分布列與數學期望．

解答：解：（I）根據題意，由樣本數據知，30件產品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴樣本中一等品的頻率為

6

30

=0.2，故估計該廠生產的產品的一等品率為0.2，
二等品的頻率為

9

30

=0.3，故估計該廠產品的二等品率為0.3，
三等品的頻率為

15

30

=0.5，故估計該廠產品的三等品率為0.5；
（II）X的可能取值為3，5，8，則P（X=3）=0.5，P（X=5）=0.3，P（X=8）=0.2
X的分布列如下

X	3	5	8
P	0.5	0.3	0.2

數學期望EX=3×0.5+5×0.3+8×0.2=5.4（元）

點評：本題考查等可能事件的概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值是關鍵．