Question

【題目】一平面上有32個點，其中無三點共線．證明：在這32個點中至少能找到2135個四點組，形成凸四邊形的四個頂點．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設．

因為個點中無三點共線，所以，個點中以任意三點為頂點可作個三角形，

其中，面積最大者設為．

過點、、分別作對邊的平行線，相交得．

由于面積最大，故其余個點在內．

又過其中任意兩點、的直線至多與的兩條邊相交，不妨設直線與邊不相交．則、、、是凸四邊形的四個頂點．

因此，個點中任意兩點與點、、中某兩點可連出一個凸四邊形．

所以，至少有個四點組為凸四邊形的四個頂點，其中，、為、、中兩點，直線與邊不相交．

再考慮點和上述個點的集合，知至少有個滿足條件的四點組．

繼續討論下去，知個點中滿足條件的四點組至少有

．

將代入得．