Question

已知兩點M（1，

5

4

），N（-4，

5

4

），給出下列曲線方程
①x+2y-1=0； 
②x²+y²=3；   
③

x2

2

+y2=1      
④

x2

2

-y2=1，
在曲線上存在點P滿足

.

MP

.

=

.

NP

.

的所有曲線方程是（　　）

A．①③

B．②④

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：由題意求出線段MN的垂直平分線方程，然后逐一和四條曲線方程聯立，若方程組有解，則符合題目要求，否則不符合．

解答：解：因為M（1，

5

4

），N（-4，

5

4

），所以MN的中點為（-

3

2

，

5

4

），
所以MN的垂直平分線方程為x=-

3

2

．
聯立

x+2y-1=0 x=- 3 2

，解得

x=- 3 2 y= 5 4

．所以①符合曲線上存在點P，滿足|MP|=|NP|；
聯立

x=- 3 2 x2+y2=3

，得

x=- 3 2 y= 3 2

或

x=- 3 2 y=- 3 2

．所以②符合曲線上存在點P，滿足|MP|=|NP|；
聯立

x=- 3 2 x2 2 +y2=1

，得y2=-

1

8

，此式顯然不成立，所以③不符合曲線上存在點P，滿足|MP|=|NP|；
聯立

x=- 3 2 x2 2 -y2=1

，得

x=- 3 2 y= 2 4

或

x=- 3 2 y=- 2 4

．所以④符合曲線上存在點P，滿足|MP|=|NP|．
所以滿足曲線上存在點P，使|MP|=|NP|的曲線是①②④．
故選D．

點評：本題考查了曲線與方程，考查了數學轉化思想方法，訓練了二元二次方程組的解法，是中檔題．