Question

已知兩點M（1，

5

4

），N（-4，-

5

4

），給出下列曲線方程：
①4x+2y-1=0；
②x²+y²=3；
③

x2

2

+y²=1；
④

x2

2

-y²=1．
在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

分析：要使這些曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|，需曲線與MN的垂直平分線相交．根據M，N的坐標求得MN垂直平分線的方程，分別于題設中的方程聯立，看有無交點即可．

解答：解：要使這些曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|，需曲線與MN的垂直平分線相交．
MN的中點坐標為（-

3

2

，0），MN斜率為

10 4

5

=

1

2

∴MN的垂直平分線為y=-2（x+

3

2

），
∵①4x+2y-1=0與y=-2（x+

3

2

），斜率相同，兩直線平行，可知兩直線無交點，進而可知①不符合題意．
②x²+y²=3與y=-2（x+

3

2

），聯立，消去y得5x²-12x+6=0，△=144-4×5×6＞0，可知②中的曲線與MN的垂直平分線有交點，
③中的方程與y=-2（x+

3

2

），聯立，消去y得9x²-24x-16=0，△＞0可知③中的曲線與MN的垂直平分線有交點，
④中的方程與y=-2（x+

3

2

），聯立，消去y得7x²-24x+20=0，△，0可知④中的曲線與MN的垂直平分線有交點，
故選D

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系．一般是把直線與圓錐曲線的方程聯立，利用判別式來判斷二者的位置關系．