Question

設(shè)m＞3，對于有窮數(shù)列{a_n}（n=1，2，3…，m），令b_k為a₁，a₂…a_k中的最大值，稱數(shù)列{b_n}為{a_n}的“創(chuàng)新數(shù)列”．數(shù){b_n}中不相等項的個數(shù)稱為{a_n}的“創(chuàng)新階數(shù)”．例如數(shù)列2，1，3，7，5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2，3，7，7，創(chuàng)新階數(shù)為3．
考察自然數(shù)1，2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列{c_n}；
（Ⅱ） 是否存在數(shù)列{c_n}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列{c_n}，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列{c_n}中，求它們的首項的和．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)b_k為a₁，a₂…a_k中的最大值，稱數(shù)列{b_n}為{a_n}的“創(chuàng)新數(shù)列”，可得數(shù)列3，4，1，5，2與數(shù)列3，4，2，5，1的“創(chuàng)新數(shù)列”為3，4，4，5，5；
（II）設(shè)數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_n}（n=1，2，3…，m），{e_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，討論d=0，d=1，以及當d=2時，因為e_m=e₁+（m-1）d=2m-2+e₁，又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，這與e_m=m矛盾，所以此時{e_n}不存在，即不存在{c_n}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為d=2的等差數(shù)列，從而得到結(jié)論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e_m=m，由題意，得e₁=c₁，所以當數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新階數(shù)為2時，{e_n}必然為c₁，c₁，…c₁，m，m…m（其中c₁＜m）由排列組合知識，得創(chuàng)新數(shù)列為k，k，…，k，m，m…，m的符合條件的{c_n}的個數(shù)，在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列{c_n}中，它們的首項的和為

m-1

k=1

k

(m-1)!

m-k

=（m-1）!

m-1

k=1

k

m-k

．

解答：（Ⅰ）解：由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的數(shù)列{c_n}有兩個，即：
（1）數(shù)列3，4，1，5，2；---------------------------（2分）
（2）數(shù)列3，4，2，5，1．---------------------------（3分）
注：寫出一個得（2分），兩個寫全得（3分）．
（Ⅱ）答：存在數(shù)列{c_n}，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．
解：設(shè)數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_n}（n=1，2，3…，m），
因為e_m為c₁，c₂，…c_m中的最大值．
所以e_m=m．
由題意知：e_k為c₁，c₂，…c_k中最大值，e_k+1為c₁，c₂，…c_k+1中最大值，
若{e_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則d，e_k+1，e_k，0，-----------（5分）
當d=0時，{e_n}為常數(shù)列，又e_m=m，
所以數(shù)列{e_n}為m，m，m，…，m，此時數(shù)列{c_n}是首項為m的任意一個符合條件的數(shù)列；
當d=1時，因為e_m=m，
所以數(shù)列{e_n}為1，2，3…，m，此時數(shù)列{c_n}是1，2，3…，m；-----------（7分）
當d=2時，因為e_m=e₁+（m-1）d=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，
這與e_m=m矛盾，所以此時{e_n}不存在，即不存在{c_n}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為d=2的等差數(shù)列．
綜上，當數(shù)列{c_n}為：（1）首項為m的任意符合條件的數(shù)列；
（2）數(shù)列1，2，3…，m時，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．---------------------------（9分）
注：此問僅寫出結(jié)論（1）（2）者得（2分）．
（Ⅲ）解：設(shè){c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_n}（n=1，2，3…，m），
由（Ⅱ）知，e_m=m，
由題意，得e₁=c₁，
所以當數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新階數(shù)為2時，{e_n}必然為c₁，c₁，…c₁，m，m…m（其中c₁＜m），---------------------（10分）
由排列組合知識，得創(chuàng)新數(shù)列為k，k，…，k，m，m…，m的符合條件的{c_n}的個數(shù)為
C_m-1^m-kA_m-k-1^m-k-1A_k-1^k-1=

1

m-k

A

m-k m-1

A

k-1 k-1

=

1

m-k

(m-1)!，----------------（12分）
所以，在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列{c_n}中，它們的首項的和為

m-1

k=1

k

(m-1)!

m-k

=（m-1）!

m-1

k=1

k

m-k

．---------------------------（14分）

點評：本題主要考查了創(chuàng)新數(shù)列的定義，以及分類討論的思想和排列組合等知識，對于學(xué)生有很大的難度，屬于難題．