Question

21、設m＞3，對于有窮數列{a_n}（n=1，2，…，m）），令b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”．數列{b_n}中不相等項的個數稱為{a_n}的“創新階數”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7，創新階數為3．考察自然數1，2，…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{C_n}．
（1）若m=5，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{C_n}；
（2）是否存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數{C_n}，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：根據令b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”，
（1）創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{C_n}，可知其首項是3，第二項是4，第三項是1或2，第四項是5，第五項是2或1，可寫出{C_n}；
（2）假設存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列，根據創新數列的定義和等差數列的定義，分類討論可求得{C_n}．

解答：解：（1）由題意，創新數列為3，4，4，5，5的數列{c_n}有兩個，即：
①數列3，4，1，5，2；
②數列3，4，2，5，1．
（2）假設存在數列{c_n}，它的創新數列為等差數列．
設數列{C_n}的創新數列為{e_n}（n=1，2，…m），
因為e_m為，c₁，c₂…c_m中的最大值．
所以e_m=m．由題意知：e_k為c₁，c₂，…c_k中最大值，
e_k+1為c₁，c₂，…，e_k，e_k+1中最大值，
所以e_k≤e_k+1，且e_k∈{，2，…，m}．
若{e_n}為等差數列，設其公差為d，
則d=e_k+1-e_k≥0，且d∈N，
當d=0時，{e_n}為常數列，又e_m=m，
所以數列{e_n}為m，m，…，m，
此時數列{c_n}是首項為m的任意一個符合條件的數列；
當d=1時，因為e_m=m，所以數列{e_n}為1，2，3，…，m，
此時數列{c_n}是1，2，3，…，m；
當d≥2時，因為e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+（m-1）×2=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，這與e_m=m矛盾，所以此時{e_n}不存在，
即不存在{c_n}使得它的創新數列為d≥2的等差數列．
綜上，當數列{c_n}為：1°首項為m的任意符合條件的數列；
2°數列1，2，3，…，m時，它的創新數列為等差數列．

點評：考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（2）的設置，增加了題目的難度，同時也考查了等差數列的定義和分類討論的思想，屬難題．