Question

已知函數，其中.
（1）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；
（2）如果對于任意、，且，都有，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）將代入函數的解析式，求出切點坐標與，再利用點斜式寫出相應的切線方程；（2）將問題等價于在上單調遞增來處理，然后分別考慮函數和
的單調性與極值，利用兩個函數的圖象確定直線的位置，利用來進行限制，從而求解出實數的取值范圍.
試題解析：（1）由題意，得，其中，
所以，
又因為，
所以函數的圖象在點處的切線方程為；
（2）先考察函數，的圖象，
配方得，
所以函數在上單調遞增，在單調遞減，且.
因為對于任意、，且，都有成立，
所以.
以下考察函數，的圖象，
則，
令，解得.
隨著變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

即函數在上單調遞減，在上單調遞增，且.
因為對于任意、，且，都有成立，
所以.
因為（即），
所以的取值范圍為.