Question

已知點M，N的坐標分別為M(2cos2x，1)，N(1，2

3

sinxcosx+a)，(x∈R，a∈R，a是常數），且y=

OM

•

ON

（O為坐標點）．
（1）求y關于x的函數關系式y=f（x），并求出f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并說明此時f（x）的圖象可由y=2sin(2x+

π

6

)的圖象經過怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析：（1）由已知中M，N的坐標分別為M(2cos2x，1)，N(1，2

3

sinxcosx+a)，(x∈R，a∈R，a是常數），可得

OM

=(2cos2x，1)，

ON

=(1，2

3

sinxcosx+a)，進而由向量數量積公式，求出函數關系式y=f（x），化為正弦型函數的形式后，即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根據正弦型函數的性質，根據x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，我們可以求出a值，進而根據函數圖象的平移變換法則，得到平移方法．

解答：解：（1）∵M，N的坐標分別為M(2cos2x，1)，N(1，2

3

sinxcosx+a)，(x∈R，a∈R，a是常數），
∴

OM

=(2cos2x，1)，

ON

=(1，2

3

sinxcosx+a)
又∵y=

OM

•

ON

∴y=2cos2x+2

3

sinxcosx+a=1+2cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1（6分）
∵ω=2
∴f（x）的最小正周期T=π
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時，y取最大值，此時2+a+1=4
∴a=1
此時y=2sin（2x+

π

6

）+2
∴只需將y=2sin(2x+

π

6

)的圖象向上平移2個單位便可得y=f（x）的圖象（7分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，正弦型函數的圖象和性質，函數圖象的平移變換法則，其中根據平面向量的數量積公式和輔助角公式，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．