Question

已知點A、B的坐標分別是，.直線相交于點M，且它們的斜率之積為－2.

(Ⅰ)求動點M的軌跡方程;

(Ⅱ)若過點的直線交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線的方程.

Answer 1

(1)  (2) 所求直線的方程為

解析:

【解題思路】弦中點問題用“點差法”或聯立方程組，利用韋達定理求解

 (Ⅰ)設，

因為,所以化簡得:

(Ⅱ) 設 

當直線⊥x軸時,直線的方程為,則,其中點不是N,不合題意

設直線的方程為 

將代入得

…………(1)   …………(2) 

(1)-(2)整理得: 

直線的方程為

即所求直線的方程為

解法二: 當直線⊥x軸時,直線的方程為,則,

其中點不是N,不合題意.

故設直線的方程為,將其代入化簡得

由韋達定理得,

又由已知N為線段CD的中點,得,解得,

將代入(1)式中可知滿足條件.

此時直線的方程為,即所求直線的方程為