Question

18．（本小題滿分14分）

如圖5，四邊形是圓柱的軸截面，點在圓柱的底面圓周上，是的中點，圓柱的底面圓的半徑，側面積為，．
（1）求證：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

. (本小題滿分分)
(本題考查空間的線面關系、二面角、空間向量及坐標運算、圓柱的側面積、余弦定理等知識，考查數形結合、化歸轉化的數學思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)
解:（1）(解法一)：由題意可知 ，
解得  ，                                       …………分
在中，，      …………分
∴ ，
又 ∵是的中點，
∴ .　　　　①                                 …………分
∵為圓的直徑，
∴ .
由已知知 ，
∴ ，
∴  .                    …………分
∴ .      ②
∴ 由①②可知：，
∴ .                          …………分
（2）由（1）知： ，
∴，，
∴是二面角的平面角 .      …………分
, , .
∴ .
 .   ………分
(解法二)：建立如圖所示的直角坐標系，
由題意可知.
解得.                    
則，，， ，
∵是的中點，
∴ 可求得.      …………分
（1），，
∴ .
  ∵ ，
∴ .           …………分
（2）由（1）知,， ，
，   .                           
∵，.
∴是平面的法向量.                                    …………分
設是平面的法向量，
由，，
解得                                       …………分
.
所以二面角的平面角的余弦值.            …………分