Question

【題目】已知點E（﹣2，0），點P時圓F：（x﹣2）2+y2=36上任意一點，線段EP的垂直平分線交FP于點M，點M的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過F的直線交曲線C于不同的A、B兩點，交y軸于點N，已知 =m ， =n ，求m+n的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6＞|EF|=4，

故由橢圓定義知，點M的軌跡是以點E，F為焦點，長軸為6，焦距為4的橢圓，從而長半軸長為a=3，短半軸長為b= = ，

∴曲線C的方程為：

（Ⅱ）由題知F（2，0），

若直線AB恰好過原點，則A（﹣3，0），B（3，0），N（0，0），

∴ =（﹣3，0）， =（5，0），則m= ，

=（3，0）， =（﹣1，0），則n=﹣3，

∴m+n= ．

若直線AB不過原點，設直線AB：x=ty+2，t≠0，

A（ty1+2，y1），B（ty2+2，y2），N（0，﹣ ）．

則 =（ty1+2，y1+ ）， =（﹣ty1，﹣y1），

=（ty2+2，y2+ ）， =（﹣ty2，﹣y2），

由 ，得y1+ =m（﹣y1），從而m= ；

由 ，得y2+ =n（﹣y2），從而n= ；

故m+n= +（ ）= =﹣2﹣ ．

聯立方程組得： ，整理得（5t2+9）y2+20ty﹣25=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

∴m+n=﹣2﹣ ═ =﹣2﹣ = ．

綜上所述，m+n=

【解析】（Ⅰ）求出|ME|+|MF|=6＞|EF|=4，判斷點M的軌跡是以點E，F為焦點，長軸為6，焦距為4的橢圓，

然后求解方程．（Ⅱ）求出F（2，0），若直線AB恰好過原點，計算m+n的值即可；若直線AB不過原點，設直線AB：x=ty+2，t≠0，求出相關點的坐標與向量，表示出+n，聯立直線與橢圓方程的方程組，利用韋達定理，轉化求解即可．