Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）過點(diǎn)（ ，1），且焦距為2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=k（x+1）（k＞﹣2）與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)M到直線2x+y+t=0的距離為 ，求t（t＞2）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2c=2 ，c= ，則a2﹣b2=2，

將點(diǎn)（ ，1）代入橢圓方程： ，解得：a2=4，b2=2，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）解：A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

，整理得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣4=0，

則x1+x2=﹣ ，則x0= =﹣ ，

y0=k（x0+1）= ，

由M到直線2x+y+t=0的距離 ， = ，

則丨 +t﹣2丨=3，

由k＞﹣2及t＞2，則t=5﹣ =5﹣ ，

由 ≥6 ，

∴5﹣ ≤t＜5，即4﹣ ≤t＜5，

∴t（t＞2）的取值范圍[4﹣ ，5）

【解析】（1）由c= ，則a2﹣b2=2，將點(diǎn)代入橢圓方程，聯(lián)立即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)k及t的取值范圍，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得t的取值范圍．