Question

【題目】如圖，平面PAC⊥平面ABC，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點，.

（1）設G是OC的中點，證明：∥平面；

（2）證明：在內存在一點M，使FM⊥平面BOE，求點M到OA，OB的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析，點M到OA，OB的距離為.

【解析】

（1）連結OP，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面的法向量，即可由向量數量積的坐標運算證明，進而可知∥平面；

（2）M在內，可設點M的坐標為，由平面，可知，由共線向量的坐標關系即可求得M的坐標，檢驗M的坐標是否滿足在內，進而由M的坐標可求得點M到OA，OB的距離.

（1）證明：為中點，連結OP如下圖所示，

因為,

所以，

因為平面平面，且平面平面，

所以平面，

而平面，則.

以O為坐標原點，分別以OB、OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則，

由題意得，得，

而，

設平面的法向量為

則,代入可得，

令，代入可得，所以平面BOE的法向量為

而，

得，即，

又直線不在平面內，

因此有平面.

（II）設點M的坐標為，則，

因為平面，所以有，

因此有，即點M的坐標為，

在平面直角坐標系中，的內部區域滿足不等式組，

經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，

所以在內存在一點M，使平面，由點M的坐標得點M到OA，OB的距離為.