Question

已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-1），B（-2，0），C（

5

，1）直線(xiàn)l：mx-y+1-m=0
（1）求圓C的方程；
（2）求證：?m∈R，直線(xiàn)l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（3）若直線(xiàn)l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=

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時(shí)，求m的值．

Answer 1

（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵A（1，-1），B（-2，0），C（

5

，1）在圓上
∴

1+1+D-E+F=0 4+0-2D+F=0 5+1+ 5 D+E+F=0

，解之得

D=0 E=-2 F=-4

因此，圓的方程為x²+y²-2y-4=0；…（4分）
（2）將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x²+（y-1）²=5
∴圓心是（0，1），半徑為r=

5

∵直線(xiàn)l：mx-y+1-m=0恒過(guò)點(diǎn)P（1，1），
而P點(diǎn)滿(mǎn)足：1²+（1-1）²＜5，說(shuō)明點(diǎn)P在圓內(nèi)
∴?m∈R，直線(xiàn)l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；…（8分）
（3）∵圓心（0，1），半徑為r=

5

，
∴圓心到直線(xiàn)l的距離d=

|-m|

m2+1

=

|m|

m2+1

又∵|MN|=2

r2-d2

∴

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=2

5-( |m| m2+1 )2

，解之得m=

3

或-

3

．…（12分）