Question

銳角三角形ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設向量

m

=(c-a，b-a)，

n

=(a+b，c)且

m

∥

n

（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先運用向量的平行的充要條件得出邊a、b、c的一個等，通過變形為分式再結合余弦定理可得cosB=

1

2

，結合B∈（0，π）得B=

π

3

；
（2）根據正弦定理將a+c變形為關于角A的一個三角函數式，再結合已知條件得出A的取值范圍，在此基礎上求關于A的函數的值域，即為a+c的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

 ∥

n

∴（c-a）c-（b-a）（a+b）=0    
∴a²+c²-b²=ac  即 

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

三角形ABC中由余弦定理，得
cosB=

1

2

，結合B∈（0，π）得B=

π

3

（2）∵B=

π

3

∴A+C=

2π

3

由題意三角形是銳角三角形，得0＜A＜

π

2

，  0＜

2π

3

-A＜

π

2

∴

π

6

＜A＜

π

2

再由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

 且b=1
∴a+c=

bsinA+bsinC

sinB

=

sinA+sin( 2π 3 -A)

3 2

=

2

3

(

3

2

sinA+

3

2

cosA) =

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)
∵

π

6

＜A＜

π

2

 
∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

∴

3

＜2sin(A+

π

6

) ≤2

∴a+c∈(

3

，2]

點評：本題綜合了向量共線與正、余弦定理知識，解決角的取值和邊的取值范圍等問題，考查了函數應用與等價轉化的思想，屬于中檔題．