Question

已知函數y=f（x）是（-1，1）上的偶函數，且在區間（-1，0）上是單調遞增的，A，B，C是銳角三角形△ABC的三個內角，則下列不等式中一定成立的是（　　）

A．f（sinA）＞f（sinB）

B．f（sinA）＞f（cosB）

C．f（cosC）＞f（sinB）

D．f（sinC）＞f（cosB）

Answer 1

分析：由于f（x）定義在（-1，1）上的偶函數，且在區間（-1，0）上單調遞增，可得f（x）在（0，1）上是減函數．而銳角三角形中，任意一個角的正弦要大于另外角的余弦，由此對題中各個選項依此加以判斷，可得本題的答案．

解答：解：對于A，由于不能確定sinA、sinB的大小，
故不能確定f（sinA）與f（sinB）的大小，可得A不正確；
對于B，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個內角，
∴A+B＞

π

2

，得A＞

π

2

-B
注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取正弦，
得sinA＞sin（

π

2

-B），即sinA＞cosB
∵f（x）定義在（-1，1）上的偶函數，且在區間（-1，0）上單調遞增
∴f（x）在（0，1）上是減函數
由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正確
對于C，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個內角，
∴B+C＞

π

2

，得C＞

π

2

-B
注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取余弦，
得cosC＜cos（

π

2

-B），即cosC＜sinB
∵f（x）在（0，1）上是減函數
由cosC＜sinB，可得f（cosC）＞f（sinB），得C正確；
對于D，由對B的證明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正確
故選：C

點評：本題給出抽象函數，求用銳角三角形的內角的正、余弦作為自變量時，函數值的大小關系．著重考查了函數的單調性、奇偶性和銳角三角形中三角函數值的大小比較等知識，屬于中檔題．