Question

已知兩點(diǎn)F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，滿足條件|PF₂|-|PF₁|=2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線 l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果|AB|=6

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)雙曲線的定義求出曲線E的方程，再根據(jù)直線l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，把y=kx-1代入曲線E的方程，△＞0，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，求出k的范圍．
（Ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式，用含k的式子表示|AB|長(zhǎng)，再根據(jù)|AB|=6

3

，就可求出k值，得到直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，
曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支           
且c=

2

，a=1，易知b=1．
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，則

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1．
即k的取值范圍是-

2

＜k＜-1．（6分）
（Ⅱ）∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

（8分）
依題意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，
整理后得28k⁴-55k²+25=0，解得k2=

5

7

或k2=

5

4

又-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

，
故直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線相交的判斷，以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，做題時(shí)要認(rèn)真分析，用對(duì)公式．