Question

已知兩點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設(shè)曲線C₂的方程為|x|+|y|=m（m＞0），當(dāng)C₁和C₂有四個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義可得2a=4

2

可求a，由c=2及b²=a²-c²可求b，進(jìn)而可求解橢圓方程
（2）分類討論，化簡(jiǎn)已知方程可得，曲線C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形，若使C₁和C₂有四個(gè)不同的交點(diǎn)，且曲線C₁，C₂都是關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱的曲線，則可得曲線x+y=m（0＜x≤m）與C₁有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即方程組

x+y=m(0＜x≤m) x2 8 + y2 4 =1

有且僅有一組解，即關(guān)于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在區(qū)間（0，m]上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類進(jìn)行求解

解答：解：（1）∵點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
由題意|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|=4

2

，且|F1F2|=4＜4

2

∴曲線C₁是以F₁（2，0），F(xiàn)₂（-2，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4

2

的橢圓
設(shè)橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵2a=4

2

，2c=4，b²=a²-c²=4
∴曲線C₁的方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（2）∵曲線C₂的方程為|x|+|y|=m（m＞0）
∴當(dāng)x＞0，y≥0時(shí)，曲線C₂的方程為x+y=m（m＞0）
當(dāng)x≤0，y＞0，曲線C₂的方程為-x+y=m（m＞0）
當(dāng)x＜0，y≤0，曲線C₂的方程為-x-y=m（m＞0）
當(dāng)x≥0，y＜0，曲線C₂的方程為x-y=m（m＞0）
∴曲線C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形
∵C₁和C₂有四個(gè)不同的交點(diǎn)，且曲線C₁，C₂都是關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱的曲線
∴曲線x+y=m（0＜x≤m）與C₁有且僅有一個(gè)交點(diǎn)
∴

x+y=m(0＜x≤m) x2 8 + y2 4 =1

有且僅有一組解
即關(guān)于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在區(qū)間（0，m]上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根x₀
設(shè)f（x）=3x²-4mx+2m²-8
①

△=16m2-12(2m2-8)=0 0＜x0≤m

，解得m=2

3

②

m＞0 f(0)=2m2-8＞0 f(m)=m2-8＜0

，解得2＜m＜2

2

綜上得m=2

3

或2＜m＜2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的定義求解橢圓的方程及直線與曲線在閉區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，注意分類討論思想的應(yīng)用