Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2，-3）是橢圓上兩點，A、B是橢圓位于直線PQ兩側的兩動點，
（ i）若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；
（ ii）當A、B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設C方程為，則．
由，得a=4
∴橢圓C的方程為．…（4分）
（Ⅱ）（ i）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為，
代入，得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）
由韋達定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12．
四邊形APBQ的面積
∴當t=0，．…（8分）
（ ii）解：當∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k
則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0…（10分）
同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得
∴…（12分）
所以AB的斜率為定值．…（14分）
分析：（I）根據橢圓C的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于 ．易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）（ i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得四邊形APBQ的面積，從而解決問題．
（ ii）設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2）將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得x₁+2，同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得x₂+2，從而得出AB的斜率為定值．
點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據已知條件計算出橢圓的標準方程是解答本題的關鍵．