Question

【題目】已知函數(shù)f（x），φ（x）滿足關(guān)系φ（x）=f（x）f（x+α）（其中α是常數(shù)）．
（1）如果α=1，f（x）=2x﹣1，求函數(shù)φ（x）的值域；
（2）如果α= ，f（x）=sinx，且對(duì)任意x∈R，存在x1 ， x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；
（3）如果f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），求函數(shù)φ（x）的最小正周期（只需寫(xiě)出結(jié)論）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)棣?1，f（x）=2x﹣1，

所以φ（x）=（2x﹣1）（2x+1﹣1）=2（2x）2﹣32x+1，

令t=2x（t＞0），所以也就是求函數(shù)y=2t2﹣3t+1（t＞0）的值域，

所以φ（x）的值域?yàn)?

（2）解：因?yàn)? ，f（x）=sinx，

所以 ，

因?yàn)閷?duì)任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，

所以φ（x1），φ（x2）應(yīng)該分別為函數(shù)φ（x）在R上的最小值和最大值，

所以|x1﹣x2|的最小值就是函數(shù)φ（x）的半周期，

也就是|x1﹣x2|的最小值為 ．

（3）解：T=
【解析】（1）當(dāng)α=1時(shí)，表示出φ（x），令t=2x（t＞0），使用換元法，討論換元后的值域，（2）當(dāng) α = 時(shí)，化解得到 φ ( x )=sin2x，對(duì)任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，可得到φ（x1），φ（x2）應(yīng)該分別為函數(shù)φ（x）在R上的最小值和最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函數(shù)φ（x）的半周期，求出結(jié)果即可，（3）根據(jù)周期計(jì)算公式即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的才能得出正確答案．