Question

已知函數f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）在點x=1處取得極值．
（1）求實數m的值；
（2）求函數f（x）在區間[0，1]上的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，證明不等式

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（1）由題可得f'（x）=-3x²-4mx-m²則f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1．
（2）由（1）得f'（x）=-3x²+4x-1，令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增區間為[

1

3

，1]，減區間為[0，

1

3

]，進而得到函數的最值

50

27

．
（3）由（2）得(1+x2)(2-x)≥

50

27

即整理得

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)可得

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2a-a2+2b-b2+2c-c2)=

27

50

[2-(a2+b2+c2)]

解答：解：（1）由題可得f'（x）=-3x²-4mx-m²
則f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1，又m＞-2，故m=-1
（2）由（1）知，f（x）=-x³+2x²-x+2，則f'（x）=-3x²+4x-1
令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增區間為[

1

3

，1]，減區間為[0，

1

3

]，
所以f(x)min=f(

1

3

)=

50

27

（3）因f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），x∈[0，1]
所以(1+x2)(2-x)≥

50

27

，即

1

1+x2

≤

27

50

(2-x)
所以

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)
故

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2a-a2+2b-b2+2c-c2)=

27

50

[2-(a2+b2+c2)]
又1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²）
所以a2+b2+c2≥

1

3

所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

×(2-

1

3

)=

9

10

（當且僅當a=b=c=

1

3

時取”=”）

點評：本題考查利用導數研究函數的極值與最值，還考查了利用函數的最值證明不等式恒成立的知識點，導數與不等式相結合是高考考查的熱點，多以解答題的形式出現屬于中檔題．